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By Manfred Dobrowolski

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen Sätze näher gebracht, die für die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausführlich die Sobolevschen Funktionenräume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgfältig ausgewählte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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Mit L(X, Y ) bezeichnen wir den Raum der linearen und beschr¨ankten Abbildungen zwischen den normierten R¨ aumen X und Y. Im Spezialfall X = Y schreiben wir k¨ urzer L(X). 10. (L(X, Y ), · X→Y ) ist ein normierter Raum. Wenn Y ein Banach-Raum ist, so ist auch L(X, Y ) ein Banach-Raum. Beweis. L(X, Y ) ist offenbar Vektorraum mit der Nullabbildung 0 : y → 0. Die Homogenit¨at der Norm folgt aus αT x Y = |α| T x Y und die Dreiecksungleichung aus 24 2 Banach- und Hilbert-R¨ aume (T1 + T2 )x Y ≤ T1 x + T2 x Y ≤ Y T1 X→Y + T2 X→Y x X.

8 (Prinzip der offenen Abbildung, Satz vom inversen Operator). Seien X, Y Banach-R¨aume und T ∈ L(X, Y ) sei surjektiv. Dann ist T offen. Demnach ist die Inverse T −1 stetig, wenn T bijektiv ist. Beweis. Dies ist letztlich eine nichttriviale Folgerung aus dem Satz von Baire. Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten: (i) Sei Ua = Ba (0). T (U1 ) enth¨alt eine offene Kugel. Es gilt X = ∪k Uk . Da T surjektiv und linear ist, folgt Y = T (X) = ∪k T (Uk ) = ∪k T (Uk ). 4 gibt es ein l, so daß T (Ul ) eine offene Kugel vom Radius r enth¨alt.

12 Beweis. Der Satz gilt f¨ ur - wie f¨ wurde gezeigt, wie man aus einem reellwertigen Funktional ein komplexwertiges konstruiert. Es gen¨ ugt also, den Fall = zu betrachten. Seien a0 ∈ A, b0 ∈ B beliebig gew¨ ahlt und sei x0 = b0 − a0 . Die Menge C = x ∈ X : x = a − b + x0 f¨ ur a ∈ A, b ∈ B ist konvex (A, B sind konvex), offen (A ist offen) und enth¨alt die Null (a0 ∈ A, b0 ∈ B). Jedem x ∈ X kann man, wenn der Halbstrahl tx, t ≥ 0, nicht ganz in C enthalten ist, ein x auf dem Rande von C zuordnen.

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